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La mwbateoria degli insiemi è una mwbqteoria mwbgmatematica posta ai mwbwfondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della mwcalogica matematica.

Prima della prima metà del mwcgXIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco mwcwGeorg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal mwda1890 al mwdq1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di mwdgErnst Zermelo, mwdwAdolf Fraenkel, mweaPaul Bernays, mweqKurt Gödel, mwegJohn von Neumann e mwewThoralf Skolem, mwfaGottlob Frege (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e mwfqGiuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di mwfgassiomi chiamati mwfwsistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e mwgasistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. mwggteorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la mwgwteoria della calcolabilità (vedasi anche mwhamacchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'mwhqassioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili. Accanto a differenti consolidate mwhgteorie formali degli insiemi (vedi anche mwhwteoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta mwiateoria ingenua degli insiemi.

• Nozioni di base

• Unione

• Intersezione

• Differenza

• Differenza simmetrica

• Altre operazioni

• Operazioni unarie

• Leggi della teoria degli insiemi

• Leggi distributive

• Leggi di De Morgan

• Unioni e intersezioni arbitrarie

• Unione arbitraria

• Intersezione arbitraria

• Prodotto cartesiano

• Insiemi delle diverse cardinalità e controllabilità

• Insiemi numerici

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Un mwjainsieme è definito ingenuamente come una collezione di mwjqelementi. Gli elementi possono essere qualsiasi cosa tra cui numeri, persone, o altri insiemi. Il numero di elementi in un insieme può essere finito (l'insieme dei residenti in una città) o infinito (l'insieme dei numeri pari). L'mwjginsieme vuoto (mwjw ∅ ∅ {\displaystyle \varnothing } ) è quello che non contiene alcun elemento. Un elemento può o meno appartenere ad un insieme: se l'elemento mwka a {\displaystyle a} appartiene all'insieme mwkq A {\displaystyle A} , allora si dice che mwkg a {\displaystyle a} appartiene ad mwkw A {\displaystyle A} che si indica con mwla a ∈ ∈ A {\displaystyle a\in A} , altrimenti mwlq a ∉ ∉ A {\displaystyle a\notin A} . Se tutti gli elementi di un insieme mwlg A {\displaystyle A} appartengono ad un insieme più grande mwlw B {\displaystyle B} , si dice che mwma A {\displaystyle A} è un mwmqsottoinsieme di mwmg B {\displaystyle B} che si indica con mwmw A ⊆ ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} , in caso contrario si scrive mwna A ⊈ ⊈ B {\displaystyle A\nsubseteq B} . Se due insiemi mwnq A {\displaystyle A} e mwng B {\displaystyle B} contengono esattamente gli stessi elementi, allora si ha che mwnw A = B {\displaystyle A=B} .

La mwoqcardinalità mwog | A | {\displaystyle |A|} di un insieme mwow A {\displaystyle A} è la misura del numero di elementi contenuti in quell'insieme.

Come con le mwpqoperazioni aritmetiche, sono definite alcune mwpgoperazioni binarie fra insiemi, che prendono in considerazione due insiemi e restituiscono un terzo insieme basato sull'operazione insiemistica:

A

{\displaystyle A}

B

{\displaystyle B}

L'mwqgunione mwqw ∪ ∪ {\displaystyle \cup } (o mwradisgiunzione logica mwrq ∨ ∨ {\displaystyle \lor } ) fra due insiemi mwrg A {\displaystyle A} e mwrw B {\displaystyle B} è l'insieme che contiene tutti gli elementi di entrambi gli insiemi, presi una sola volta. Ad esempio, se mwsa A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} e mwsq B = { 3 , 4 , 5 } {\displaystyle B=\{3,4,5\}} , mwsg A ∪ ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . {\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5\}.}

A

{\displaystyle A}

B

{\displaystyle B}

L'mwtgintersezione mwtw ∩ ∩ {\displaystyle \cap } (o mwuacongiunzione logica mwuq ∧ ∧ {\displaystyle \land } ) fra due insiemi mwug A {\displaystyle A} e mwuw B {\displaystyle B} è l'insieme che contiene tutti gli elementi in comune tra i due insiemi. Ad esempio, se mwva A = { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle A=\{2,3,4\}} e mwvq B = { 3 , 4 , 5 } {\displaystyle B=\{3,4,5\}} , mwvg A ∪ ∪ B = { 3 , 4 } {\displaystyle A\cup B=\{3,4\}} .

A

{\displaystyle A}

B

{\displaystyle B}

La mwwgdifferenza mwww ∖ ∖ {\displaystyle \setminus } fra due insiemi mwxa A {\displaystyle A} e mwxq B {\displaystyle B} è l'insieme che contiene tutti gli elementi di mwxg A {\displaystyle A} che non appartengono a mwxw B {\displaystyle B} .

A

{\displaystyle A}

B

{\displaystyle B}

La mwywdifferenza simmetrica mwza Δ Δ {\displaystyle \Delta } (o mwzqdisgiunzione inclusiva mwzg ∨ ∨ ˙ ˙ {\displaystyle {\dot {\lor }}} ) fra due insiemi mwzw A {\displaystyle A} e mwaa B {\displaystyle B} è l'insieme che contiene gli elementi di mwaq A {\displaystyle A} e mwag B {\displaystyle B} , ma non quelli in comune, può anche essere definito come mwaw ( A ∖ ∖ B ) ∪ ∪ ( B ∖ ∖ A ) {\displaystyle (A\setminus B)\cup (B\setminus A)} .

• Il mwbwprodotto cartesiano mwca × × {\displaystyle \times } .

• La mwcgsomma disgiunta mwcw + {\displaystyle +} .

Esistono inoltre altre operazioni che agiscono su un solo insieme:

• Il mweacomplemento mweq A c {\displaystyle A^{c}} (o mwegnegazione logica mwew ¬ ¬ {\displaystyle \neg } ), anche indicato con mwfa A ′ {\displaystyle A'} , è l'insieme che contiene tutti gli elementi che non appartengono ad mwfq A {\displaystyle A} .

• L'mwfwinsieme delle parti (o insieme potenza) mwga P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di mwgq A {\displaystyle A} . Quindi, se mwgg A = { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle A=\{2,3,4\}} , mwgw P ( A ) = { ∅ ∅ , { 2 } , { 3 } , { 4 } , { 2 , 3 } , { 3 , 4 } , { 2 , 4 } , A } {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{2\},\{3\},\{4\},\{2,3\},\{3,4\},\{2,4\},A\}} .

Si noti che

mwia ( A ∪ ∪ B ) ∩ ∩ C ≠ ≠ A ∪ ∪ ( B ∩ ∩ C ) . {\displaystyle (A\cup B)\cap C\neq A\cup (B\cap C).}

Ne consegue che gli operatori unione, intersezione e complemento non sempre godono dell'mwigassociatività.

mwjg A ∩ ∩ ( B ∪ ∪ C ) = ( A ∩ ∩ B ) ∪ ∪ ( A ∩ ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\qquad } "l'intersezione di un insieme con l'unione degli altri due è uguale all'unione delle singole intersezioni".

mwkq A ∪ ∪ ( B ∩ ∩ C ) = ( A ∪ ∪ B ) ∩ ∩ ( A ∪ ∪ C ) {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\qquad } "l'unione di un insieme con l'intersezione degli altri due è uguale all'intersezione delle singole unioni".

mwlg ( B ∪ ∪ C ) c = B c ∩ ∩ C c {\displaystyle (B\cup C)^{c}=B^{c}\cap C^{c}\qquad } "il complemento dell'unione è l'intersezione dei singoli complementi".

mwmq ( B ∩ ∩ C ) c = B c ∪ ∪ C c {\displaystyle (B\cap C)^{c}=B^{c}\cup C^{c}\qquad } "il complemento dell'intersezione è l'unione dei singoli complementi".

Per completezza includiamo una dimostrazione possibile della prima legge di De Morgan:

mwng ( A ∪ ∪ B ) c = A c ∩ ∩ B c . {\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.}

Dato mwoa x ∈ ∈ ( A ∪ ∪ B ) c {\displaystyle x\in (A\cup B)^{c}} segue per definizione di complementare che mwoq x ∉ ∉ ( A ∪ ∪ B ) {\displaystyle x\notin (A\cup B)} , ossia mwog x {\displaystyle x} non è né un elemento di mwow A {\displaystyle A} né un elemento di mwpa B {\displaystyle B} .

Se mwpg x {\displaystyle x} non è un elemento di mwpw A {\displaystyle A} , allora deve per forza essere un elemento del suo complementare mwqa A c {\displaystyle A^{c}} . La stessa logica è applicabile per dire che mwqq x {\displaystyle x} appartiene al complementare di mwqg B {\displaystyle B} (ossia mwqw B c {\displaystyle B^{c}} ). Visto che mwra x {\displaystyle x} fa parte sia di mwrq A c {\displaystyle A^{c}} che di mwrg B c {\displaystyle B^{c}} , segue che mwrw x {\displaystyle x} faccia parte dell'intersezione di questi due insiemi, da cui deriva che mwsa x ∈ ∈ A c ∩ ∩ B c {\displaystyle x\in A^{c}\cap B^{c}} .

Abbiamo detto che un insieme può contenere altri insiemi. Talvolta se tutti gli elementi di un insieme mwsw X {\displaystyle X} sono essi stessi insiemi, mwta X {\displaystyle X} prende il nome di collezione. L'esempio più comune di collezione è il già citato insieme delle parti.

Data una collezione mwtw A {\displaystyle {\mathcal {A}}} di insiemi, l'insieme ottenuto dall'unione di tutti i suoi elementi (che sono essi stessi insiemi) è scrivibile come:

mwug ⋃ ⋃ A ∈ ∈ A A = { x | x ∈ ∈ A per almeno un A ∈ ∈ A } . {\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A=\{x\,|\,x\in A{\text{ per almeno un }}A\in {\mathcal {A}}\}.}

Ossia mwva ⋃ ⋃ A ∈ ∈ A A {\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A} equivale a prendere tutti gli elementi mwvq x {\displaystyle x} contenuti in ciascun insieme mwvg A {\displaystyle A} facente parte alla collezione mwvw A {\displaystyle {\mathcal {A}}} .

Data una collezione mwwg A {\displaystyle {\mathcal {A}}} di insiemi, l'insieme ottenuto dall'intersezione di tutti i suoi elementi (che sono essi stessi insiemi) è scrivibile come:

mwxq ⋂ ⋂ A ∈ ∈ A A = { x | x ∈ ∈ A per ogni A ∈ ∈ A } . {\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {A}}}A=\{x\,|\,x\in A{\text{ per ogni }}A\in {\mathcal {A}}\}.}

Ossia mwxw ⋂ ⋂ A ∈ ∈ A A {\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {A}}}A} equivale a prendere tutti gli elementi mwya x {\displaystyle x} simultaneamente contenuti in tutti gli insiemi mwyq A {\displaystyle A} facenti parte alla collezione mwyg A {\displaystyle {\mathcal {A}}} .

Dati due insiemi mwzg A {\displaystyle A} e mwzw B {\displaystyle B} , il mw0aprodotto cartesiano mw0q A × × B {\displaystyle A\times B} è definito come l'insieme delle mw0gcoppie mw0wordinate mw1a ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} dove mw1q a ∈ ∈ A {\displaystyle a\in A} e mw1g b ∈ ∈ B {\displaystyle b\in B} .

In simboli:

mw2g A × × B = { ( a , b ) | a ∈ ∈ A ∧ ∧ b ∈ ∈ B } . {\displaystyle A\times B=\{(a,b)\,|\,a\in A\land b\in B\}.}

Si noti che il prodotto cartesiano introduce per definizione il concetto di "ordine" creando coppie ordinate. Pertanto, mw3a A {\displaystyle A} e mw3q B {\displaystyle B} possono essere insiemi qualsiasi, senza la necessità che su di essi vi sia definita una particolare mw3grelazione d'ordine.

Talvolta per sottolineare che le coppie di un prodotto cartesiano sono ordinate possiamo imbatterci nella dicitura:

mw4g ( a , b ) = { { a } , { a , b } } {\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\qquad } (definizione di mw4wKuratowski).

Questa definizione stabilisce che ciascuna coppia ordinata è una collezione di due insiemi, uno contenente il mw5qsingoletto il cui unico elemento è il primo componente della coppia stessa, l'altro l'insieme di mw5gcardinalità 2 i cui elementi sono entrambi i componenti della coppia.

Da questa definizione segue che

mw6g ( a , b ) ≠ ≠ ( b , a ) {\displaystyle (a,b)\neq (b,a)}

poiché

• mw7g ( a , b ) = { { a } , { a , b } } ; {\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\};}

• mw8a ( b , a ) = { { b } , { a , b } } . {\displaystyle (b,a)=\{\{b\},\{a,b\}\}.}

Tuttavia, per quanto questa definizione possa essere elegante, l'ordine del prodotto cartesiano è spesso considerato un concetto primitivo che non necessita dimostrazione.

• mw-qInsieme numerabile

• mw-wInsieme ricorsivo

• mw-qInsieme ricorsivamente enumerabile

• mw-wInsieme con la potenza del continuo

• mwaqeNumero transfinito

• mwaqynumeri naturali

• mwaqgnumeri interi o numeri relativi

• mwaqonumeri razionali

• mwaqwnumeri reali

• mwaq4numeri irrazionali

• mwaranumeri algebrici

• mwarinumeri complessi

• mwarqnumeri trascendenti

• mwarynumero transifiniti

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• mwatmGabriele Lolli, mwatqTeoria assiomatica degli insiemi, Boringhieri, 1974

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• mwat0Teoria ingenua degli insiemi

• mwat8Teoria assiomatica degli insiemi

• mwaueInsieme sfocato o mwauifuzzy set

• mwauqLuogo geometrico

• mwauyTeoria delle categorie

• mwaugTeoria dei tipi

• mwauoAnalisi non standard

Altri progetti

• Wikiversità

• Wikimedia Commons

• Wikiversità contiene risorse sulla teoria degli insiemi

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla teoria degli insiemi

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